خداحافظ ایگرگ

درباره وبلاگ

به وبلاگ من خوش آمدید

منوي اصلي

آخرین مطالب

<-PostTitle->

آرشيو وبلاگ

پیوندهای روزانه

پيوندها

جی پی اس موتور
جی پی اس مخفی خودرو

تبادل لینک هوشمند
برای تبادل لینک ابتدا ما را با عنوان وبلاگ من و دوستم و آدرس atasepehr.LXB.ir لینک نمایید سپس مشخصات لینک خود را در زیر نوشته . در صورت وجود لینک ما در سایت شما لینکتان به طور خودکار در سایت ما قرار میگیرد.

نويسندگان

عطا صلحی


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 1
بازدید دیروز : 0
بازدید هفته : 27
بازدید ماه : 50
بازدید کل : 44824
تعداد مطالب : 18
تعداد نظرات : 0
تعداد آنلاین : 1

Alternative content

خداحافظ ایگرگ

وبلاگ صلحی

اعداد مختلط

نمایش یک عدد مختلط در صفحه مختلط. در این شکل، $a$ ، قسمت حقیقی و $b$ ، قسمت موهومی است.

عدد مختلط عددی به شکل $a + ib ,$ است که $a$ و $b$ اعداد حقیقی‌اند و $i$ یکهٔ موهومی با خصوصیت $i$ ² = -1 است. عدد $a$ قسمت حقیقی و عدد $b$ قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود:

$I_mz=b$
$R_ez=a$

اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی $a$ معادل است با عدد مختلط $a+0i$ .

مجموعهٔ اعداد مختلط را بصورت $C=left {a+ib|a, bin R, i^2=-1 ight }$ تعریف می‌کنیم.

تعاریف

برابری

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d.

نمادگذاری و اعمال جبری

مجموعه اعداد مختلط معمولاً با $mathbb{C}$ نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ i ² = −1

$,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

$,(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته است.

میدان مختلط

اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال:

$(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) ,$

$(a,b) cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad). ,$

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی a را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیرمیدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی $frac{a + ib}{c + id}$ یافتن عددی است مثل x + iy که در تساوی

a +ib = (c +id ).(x +iy)

صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم

a +ib = (cx -dy)+i(dx +cy)

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط

dx + cy = b, cx - dy = a صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

$x = frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}$ $y = frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$ مگر آنکه c = d = 0 بنابراین $frac{a + ib}{c + id} = frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + ifrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$ البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر $frac{a + ib}{c + id}$ در

c - id

نیز بدست آوریم

ریشه nام اعداد مختلط

فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z₀ می خوانند، هرگاه

$z = z_0^{1/n}$

جمعه 29 آذر 1392برچسب:,

:: 17:14 :: نويسنده : عطا صلحی

اتحاد(جبر)

«اتحاد» تغییر مسیری به این صفحه است. برای کاربردهای دیگر اتحاد (ابهام‌زدایی) را ببینید.

اتحاد یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیتهای جبری در ریاضی بکار می‌رود.

تعریفی دیگر

معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.^[۱]

کاربرد اتحاد

ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\,\!$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab \,\!$

مربع سه جمله‌ای

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!$

مکعب مجموع دو جمله

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,\!$

مزدوج

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \,\!$

اتحاد جمله مشترک

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!$

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x+ab \,\!$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (چاق و لاغر)

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \,\!$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \,\!$

^[۲]

اویلر(اولر)

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc \,\!$

اتحاد لاگرانژ

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,\!$

نیوتونی

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n$ ^[۳]

یک شنبه 10 آذر 1392برچسب:,

:: 21:25 :: نويسنده : عطا صلحی

فروش اینترنتی کتابهای کمپبل برای المپیاد زیست

برای ورود به فروش گاه اینترنتی بر روی ادامه مطالب کلیک کنید ادامه مطلب

شنبه 18 آبان 1392برچسب:,

:: 23:40 :: نويسنده : عطا صلحی

تابع چگالی احتمال

در آمار و احتمالات تابع چگالی احتمال به تابعی اطلاق می‌شود که توزیعی آماری را به شکل انتگرالی نمایش دهد. مقدار این تابع غیر منفی است.

توزیع پیوسته یک متغیره

تابع توزیع نرمال N(0, σ²).

احتمال آنکه متغیر تصادفی در بازه [a,b] واقع شود از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

$\Pr(a \leq X \leq b) =\int_a^b f(x)\,dx$

همچنین کل مساحت زیر نمودار برابر است با ۱؛ یعنی:

$\int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1$

در نتیجه تابع توزیع تجمعی را می‌توان بصورت زیر نوشت:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) \, \mathrm{d}u ,$

و اگر f تابعی پیوسته باشد:

$f(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) .$

تعریف

متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که مقدار آن در فضای اندازه $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ تعریف شده و توزیع احتمال آن اندازه X_∗P در $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ است، آنگاه چگالی X نسبت به اندازه مرجع μ در $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ بواسطه مشتق رادون−نیکودیم به شکل زیر تعریف می‌شود:

$f = \frac{\mathrm d X_*P}{\mathrm d \mu} .$

بعبارت دیگر، به ازای هر مجموعه اندازه‌پذیر $A \in \mathcal{A}$ ، f می‌تواند هر تابع قابل اندازه‌گیری با ویژگی زیر باشد:

$\Pr [X \in A ] = \int_{X^{-1}A} \, \mathrm d P = \int_A f \, \mathrm d \mu$

برخلاف احتمالی که به یک متغیر تصادفی گسسته نسبت داده می شود، تابع چگالی احتمال می تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند. به طور مثال توزیع یکنواخت در بازه [1/2 ,0] چگالی احتمالی f(x) = 2 برای 0 ≤ x ≤ ½ دارد و f(x) = 0 برای خارج این بازه دارد با داشتن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X می توان مقدار امید ریاضی آن را به شکل زیر محاسبه کرد

$\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.$

چند روش محاسبه

از روش های بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X مشتق گیری از تابع توزیع تجمعی (F_X(x آن است و که به صورت زیر تعریف می شود $x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)$

$\frac{d}{dx}F(x) = f(x).$

یک روش دیگر برای بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X تخمین مقدار آن در یک بازه کوچک مانند $[x, x + \varepsilon]$ : است.

$\Pr(x<X<x+\varepsilon) = f(t)\,\varepsilon.$

یا به عبارت دیگر $\lim_{\varepsilon \to 0} P(x <X <x + \varepsilon) / \varepsilon$ :

رابطه بین توزیع های گسسته و پیوسته

می توان بعضی از متغیر های تصادفی گسسته را نیز با استفاده از تابع چگالی احتمالی توصیف کرد. به طور مثال برای متغیر تصادفی که دو مقدار 1 و -1 را هر کدام با احتمال 1/2 می گیرد، می توان چگالی احتمال زیر را نسبت داد

$f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1)).$

به طور کلی اگر متغیر تصادفی n مقدار حقیقی را اختیار کند می توان تابع چگالی احتمای آن را به این شکل نوشت

$f(t) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(t-x_i),$

که مقادیر x₁, …, x_n مقادیری هستند که متغیر تصادفی X با احتمال p₁, …, p_n اختیار می کند..

چگالی احتمال توابع چند متغیره

برای متغیرهای تصادفی X₁, …, X_n همچنین این امکان وجود دارد که یک تابع چگالی چند متغیره تعریف کنیم که به تمامی "X" ها بستگی داشته باشد که به آن تابع چگالی احتمال مشترک (توام) گویند. این تابع چگالی تابع چگالی n متغیره نام دارد به طوری که به ازای هر فضای احتمال "n" بعدی "D" از متغیر های تصادفی x₁, …, x_n احتمال اینکه این دسته متغیرها در "D" قرار بگیرند، به صورت زیر است:

$\Pr \left( X_1,\ldots,X_N \isin D \right) = \int_D f_{X_1,\dots,X_N}(x_1,\ldots,x_N)\,dx_1 \cdots dx_N.$

اگر( F(x₁, …, x_n) = Pr(X₁ ≤ x₁, …, X_n ≤ x_n باشد، به آن توزیع تجمعی احتمال بردار (X₁, …, X_n) گوییم که در آنصورت توزیع چگالی احتمال توام از طریق مشتق گیری از آن بدست می آید:

$f(x) = \frac{\partial^n F}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} \bigg|_x$

چگالی توزیع حاشیه ای

(f_{X_i}(x_i به ازای i=1, 2, …,n چگالی توزیع حاشیه ای می گوییم که فقط تابع X_i است. میتوان آنرا از طریق انتگرال گیری از توزیع تجمعی نسبت به n-1 متغیر دیگر بدست آورد.

$f_{X_i}(x_i) = \int f(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1 \cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_n .$

استقلال

تابع توزیع مشترک n متغیره X₁, …, X_n مستقل از تک تک آنها مستقل است اگر و تنها اگر:

$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_{X_1}(x_1)\cdots f_{X_n}(x_n).$

نتیجه فرعی

اگر بتوان تابع توزیع مشترک یک بردار n تایی را به صورت حاصلضرب n تابع تک متغیره نوشت

$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n),$

(لزومی ندارد که هر f_i یک چگالی احتمال باشد) در آنصورت n متغیر از یکدیگر مستقل هستند و چگالی توزیع احتمال هریک به صورت زیر محاسبه میشود:

$f_{X_i}(x_i) = \frac{f_i(x_i)}{\int f_i(x)\,dx}.$

مثال

این مثال ابتدایی حالت ساده دو متغیره از تعریف تابع چکالی احتمال چند متغیره است. فرض کنید فضای $\vec R$ یک فضای دو متغیره با بردار مختصات (X, Y) است. احتمال اینکه $\vec R$ در کنج مثبت باشد، اینگونه است:

$\Pr \left( X> 0, Y> 0 \right) = \int_0^\infty \int_0^\infty f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.$

جمع دو متغیر تصادفی مستقل

تابع چگالی احتمال دو متغیر مستقل U و V، که هر یک دارای یک تابع چگالی احتمالند، کانولوشن تابع چگالی تک تک آن هاست:

$f_{U+V}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_U(y) f_V(x - y)\,dy = \left( f_{U} * f_{V} \right) (x)$

میتوان رابطه بالا را به N متغیر مستقل، با چگالی های U₁, …, U_N تعمیم داد:

$f_{U_{1} + \ldots + U_{N}}(x) = \left( f_{U_{1}} * \ldots * f_{U_{N}} \right) (x)$

متغیرهای وابسته و تغییر متغیر

اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به صورت (f_X(x داده شده باشد، میتوان(ولی معمولاً غیر ضروری است، زیر را مشاهده کنید) تابع چگالی احتمال متغیری مانند (Y = g(X را محاسبه کرد. به این کار "تغییر متغیر" میگویند و در عمل برای تولید متغیر تصادفی با شکل دلخواه f_g(X) = f_Y با استفاده از مولد عدد تصادفی شناخته شده(برای مثال یکنواخت)، مورد استفاده قرار میگیرد.

اگر تابع g یکنواخت باشد، در آنصورت تابع چگالی حاصل به صورت زیر است:

$f_Y(y) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}(y)).$

در اینجا منظور از g⁻¹، تابع معکوس و منظور از 'g، تابع مشتق است.

این به دنبال این حقیقت ناشی میشود که احتمال در ناحیه مشتق گیری تحت تاثیر تغییر متغیر، باید ثابت بماند. یعنی:

$\left| f_Y(y)\, dy\right| = \left| f_X(x)\, dx\right|,$

یا

$f_Y(y) = \left| \frac{dx}{dy} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(x)} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right|f_X(g^{-1}(y)).$

برای توابعی که یکنواخت نیستند، تابع چگالی احتمال "y" به صورت زیر است:

$\sum_{k=1}^{n(y)} \left| \frac{1}{g'(g^{-1}_{k}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}_{k}(y))$

که در آن (n(y تعداد جواب های "x" برای رابطه g(x) = y و (g⁻¹_k(y ها همان جواب ها هستند.

حال وسوسه انگیز است که در مورد امید ریاضی((E(g(X نیز بیندیشیم. به این منظور ابتدا باید چگالی احتمال( f_g(X را برای متغیر تصادفی جدید (Y = g(X بیابیم. به جای محاسبه

$E(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty y f_{g(X)}(y)\,dy,$

بهتر است

$E(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x)\,dx.$

را محاسبه کرد.

دو انتگرال در تمامی شرایط در حالی که X و (g(X دارای تابع توزیع چگالی باشند، جواب یکسانی دارند. هیچ الزامی وجود ندارد که تابع g یک تابع یک به یک باشد. برخی مواقع انتگرال دوم، بسیار راحت تر از اولی قابل محاسبه است.

متغیرهای چندگانه

فرمول بالا را میتوان به متغیرهایی (که آنها را دوباره y می نامیم) وابسته به چند متغیر تصادفی تعمیم داد. (f(x₀, x₁, …, x_m−1 را میتوان به عنوان تابع چگالی احتمال y در نظر گرفت که به آنها وابسته است که این وابستگی به صورت y = g(x₀, x₁, …, x_m−1) است. در نتیجه تابع چگالی به صورت زیر بدست می آید:

$\int\limits_{y = g(x_0, x_1, \dots, x_{m-1})} \frac{f(x_0, x_1,\dots, x_{m-1})}{\sqrt{\sum_{j=0}^{j<m}} (\frac{\partial g}{\partial x_j}(x_0, x_1, \dots , x_{m-1}))^2} \; dV$

که در آن انتگرال روی m-1 بعد است و باید dV را متناسب با این انتگرال پارامتریزه جایگزین کرد. متغیرهای تصادفی x₀, x₁, …, x_m−1 باالتبع توابعی از این پارامتریزه کردن ها هستند.

شاید بصری به نظر برسد، ولی این ناشی از مطلب زیر است: فرض کنید 'x' یک متغیر تصادفی n-بعدی با تابع چگالی احتمال f است. اگر y = H(x) و H تابعی دوسویه و تشخیص پذیر باشد، y دارای چگالی احتمال g است:

$g(\mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\left\vert \det\left(\frac{d\mathbf{x}}{d\mathbf{y}}\right)\right \vert$

که مشتق در نظر گرفته شده، ماتریس ژاکوبی معکوس تابع H نسبت به y است.

با استفاده از تابع دلتا، (و فرض بر استقلال) جواب یکسانی به صورت زیر بدست می آید.

اگر تابع چگالی احتمال متغیرهای تصادفی مستقل X_i, i = 1, 2, …n به صورت (f_{X_i}(x_i داده شده باشند، میتوان تابع چگالی احتمال متغیرهایی مانند (Y = G(X₁, X₂, …X_n را حساب کرد. فرمول زیر ارتباطی بین تابع چگالی احتمال y که با (f_Y(y نشان میدهیم و (f_{X_i}(x_i با استفاده از تابع دلتای دیراک برقرار میکند:

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2) \ldots f_{X_n}(x_n)\delta(y-G(x_1,x_2,\ldots x_n))\,dx_1\,dx_2\,\ldots dx_n$

محتویات

توزیع پیوسته یک متغیره

تابع توزیع نرمال N(0, σ²).

احتمال آنکه متغیر تصادفی در بازه [a,b] واقع شود از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

$\Pr(a \leq X \leq b) =\int_a^b f(x)\,dx$

همچنین کل مساحت زیر نمودار برابر است با ۱؛ یعنی:

$\int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1$

در نتیجه تابع توزیع تجمعی را می‌توان بصورت زیر نوشت:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) \, \mathrm{d}u ,$

و اگر f تابعی پیوسته باشد:

$f(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) .$

تعریف

$f = \frac{\mathrm d X_*P}{\mathrm d \mu} .$

$\Pr [X \in A ] = \int_{X^{-1}A} \, \mathrm d P = \int_A f \, \mathrm d \mu$

$\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.$

چند روش محاسبه

$\frac{d}{dx}F(x) = f(x).$

$\Pr(x<X<x+\varepsilon) = f(t)\,\varepsilon.$

یا به عبارت دیگر $\lim_{\varepsilon \to 0} P(x <X <x + \varepsilon) / \varepsilon$ :

رابطه بین توزیع های گسسته و پیوسته

$f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1)).$

به طور کلی اگر متغیر تصادفی n مقدار حقیقی را اختیار کند می توان تابع چگالی احتمای آن را به این شکل نوشت

$f(t) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(t-x_i),$

که مقادیر x₁, …, x_n مقادیری هستند که متغیر تصادفی X با احتمال p₁, …, p_n اختیار می کند..

چگالی احتمال توابع چند متغیره

$\Pr \left( X_1,\ldots,X_N \isin D \right) = \int_D f_{X_1,\dots,X_N}(x_1,\ldots,x_N)\,dx_1 \cdots dx_N.$

$f(x) = \frac{\partial^n F}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} \bigg|_x$

چگالی توزیع حاشیه ای

$f_{X_i}(x_i) = \int f(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1 \cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_n .$

استقلال

تابع توزیع مشترک n متغیره X₁, …, X_n مستقل از تک تک آنها مستقل است اگر و تنها اگر:

$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_{X_1}(x_1)\cdots f_{X_n}(x_n).$

نتیجه فرعی

اگر بتوان تابع توزیع مشترک یک بردار n تایی را به صورت حاصلضرب n تابع تک متغیره نوشت

$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n),$

$f_{X_i}(x_i) = \frac{f_i(x_i)}{\int f_i(x)\,dx}.$

مثال

$\Pr \left( X> 0, Y> 0 \right) = \int_0^\infty \int_0^\infty f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.$

جمع دو متغیر تصادفی مستقل

تابع چگالی احتمال دو متغیر مستقل U و V، که هر یک دارای یک تابع چگالی احتمالند، کانولوشن تابع چگالی تک تک آن هاست:

$f_{U+V}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_U(y) f_V(x - y)\,dy = \left( f_{U} * f_{V} \right) (x)$

میتوان رابطه بالا را به N متغیر مستقل، با چگالی های U₁, …, U_N تعمیم داد:

$f_{U_{1} + \ldots + U_{N}}(x) = \left( f_{U_{1}} * \ldots * f_{U_{N}} \right) (x)$

متغیرهای وابسته و تغییر متغیر

اگر تابع g یکنواخت باشد، در آنصورت تابع چگالی حاصل به صورت زیر است:

$f_Y(y) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}(y)).$

در اینجا منظور از g⁻¹، تابع معکوس و منظور از 'g، تابع مشتق است.

این به دنبال این حقیقت ناشی میشود که احتمال در ناحیه مشتق گیری تحت تاثیر تغییر متغیر، باید ثابت بماند. یعنی:

$\left| f_Y(y)\, dy\right| = \left| f_X(x)\, dx\right|,$

یا

$f_Y(y) = \left| \frac{dx}{dy} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(x)} \right| f_X(x) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right|f_X(g^{-1}(y)).$

برای توابعی که یکنواخت نیستند، تابع چگالی احتمال "y" به صورت زیر است:

$\sum_{k=1}^{n(y)} \left| \frac{1}{g'(g^{-1}_{k}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}_{k}(y)) </font><br><br></div></div> <div class=div26> <div class=div58><font class=text7>جمعه 10 آبان 1392برچسب:<a href=$ ,

:: 16:58 :: نويسنده : عطا صلحی

سوالات تیزهوشان 92و93

برای دانلود اینجا کلیک کنید

چهار شنبه 8 آبان 1392برچسب:,

:: 17:12 :: نويسنده : عطا صلحی

تابع های وارون مثلثاتی

تابع‌های وارون مثلثاتی در ریاضیات، وارون تابع‌های مثلثاتی اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آن‌ها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابع‌های مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به ).

برای نمونه اگر تعریف کنیم $y = operatorname{arcsin}(x)$ آنگاه $x = operatorname{sin}(y)$ است اما به ازای یک x یکتا می‌توان چندین y پیدا کرد که به ازای آن $x = operatorname{sin}(y)$ شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin می‌تواند می‌تواند چندین جواب داشته باشد $operatorname{arcsin}(0)=0, pi, 2pi$ درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.

تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:

نام	نماد ریاضی	تعریف	بازهٔ x برای خروجی های حقیقی	برد تابع (رادیان)	برد تابع (درجه)
آرک سینوس	y = arcsin x	x = sin y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کسینوس	y = arccos x	x = cos y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک تانژانت	y = arctan x	x = tan y	تمامی اعداد حقیقی	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کتانژانت	y = arccot x	x = cot y	تمامی اعداد حقیقی	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک سکانت	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$0 le y le pi, y e ; frac{pi}{2}$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°
آرک کسکانت	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$frac {-pi}{2} le y le frac {pi}{2}, y e ; 0$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

نمودار تابع های $operatorname{arcsin}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccos}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arctan}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccot}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arcsec}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccsc}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

زاویه‌های مکمل:

$arccos x = frac{pi}{2} - arcsin x$

$arccot x = frac{pi}{2} - arctan x$

$arccsc x = frac{pi}{2} - arcsec x$

ورودی‌های با علامت مخالف:

$arcsin (-x) = - arcsin x !$

$arccos (-x) = pi - arccos x !$

$arctan (-x) = - arctan x !$

$arccot (-x) = pi - arccot x !$

$arcsec (-x) = pi - arcsec x !$

$arccsc (-x) = - arccsc x !$

ورودی‌های وارون شده:

$arccos (1/x) ,= arcsec x ,$

$arcsin (1/x) ,= arccsc x ,$

$arctan (1/x) = frac{1}{2}pi - arctan x =arccot x, ext{ if }x > 0 ,$

$arctan (1/x) = - frac{1}{2}pi - arctan x = -pi + arccot x, ext{ if }x < 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{1}{2}pi - arccot x =arctan x, ext{ if }x > 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{3}{2}pi - arccot x = pi + arctan x, ext{ if }x < 0 ,$

$arcsec (1/x) = arccos x ,$

$arccsc (1/x) = arcsin x ,$

در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:

$arccos x = arcsin sqrt{1-x^2}, ext{ if }0 leq x leq 1$

$arctan x = arcsin frac{x}{sqrt{x^2+1}}$

هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).

با استفاده از رابطهٔ خواهیم داشت:

$arcsin x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1-x^2}}$

$arccos x = 2 arctan frac{sqrt{1-x^2}}{1+x}, ext{ if }-1 < x leq +1$

$arctan x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1+x^2}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

$sin (arccos x) = cos(arcsin x) = sqrt{1-x^2}$

$sin (arctan x) = frac{x}{sqrt{1+x^2}}$

$cos (arctan x) = frac{1}{sqrt{1+x^2}}$

$an (arcsin x) = frac{x}{sqrt{1-x^2}}$

$an (arccos x) = frac{sqrt{1-x^2}}{x}$

راه حل کلی

تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.

این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:

$sin(y) = x Leftrightarrow y = arcsin(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arcsin(x) + 2kpi$

$cos(y) = x Leftrightarrow y = arccos(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arccos(x) + 2kpi$

$an(y) = x Leftrightarrow y = arctan(x) + kpi$

$cot(y) = x Leftrightarrow y = arccot(x) + kpi$

$sec(y) = x Leftrightarrow y = arcsec(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arcsec (x) + 2kpi$

$csc(y) = x Leftrightarrow y = arccsc(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arccsc(x) + 2kpi$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

نوشتار اصلی: ‎

مشتق ساده این نوع تابع‌ها، به ازای x‌های مختلط و حقیقی به قرار زیر است:

$egin{align} frac{d}{dx} arcsin x & {}= frac{1}{sqrt{1-x^2}} frac{d}{dx} arccos x & {}= frac{-1}{sqrt{1-x^2}} frac{d}{dx} arctan x & {}= frac{1}{1+x^2} frac{d}{dx} arccot x & {}= frac{-1}{1+x^2} frac{d}{dx} arcsec x & {}= frac{1}{x,sqrt{x^2-1}} frac{d}{dx} arccsc x & {}= frac{-1}{x,sqrt{x^2-1}} end{align}$

رابطه‌های زیر ویژهٔ x‌های حقیقی است:

$egin{align} frac{d}{dx} arcsec x & {}= frac{1}{|x|,sqrt{x^2-1}}; qquad |x| > 1 frac{d}{dx} arccsc x & {}= frac{-1}{|x|,sqrt{x^2-1}}; qquad |x| > 1 end{align}$

برای مشتق ساده اگر $heta = arcsin x !$ باشد، آنگاه داریم:

$frac{d arcsin x}{dx} = frac{d heta}{d sin heta} = frac{1} {cos heta} = frac{1} {sqrt{1-sin^2 heta}} = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

استفاده از انتگرال‌های معین

عبارت انتگرالی برابر با تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:

$egin{align} arcsin x &{}= int_0^x frac {1} {sqrt{1 - z^2}},dz,qquad |x| leq 1 arccos x &{}= int_x^1 frac {1} {sqrt{1 - z^2}},dz,qquad |x| leq 1 arctan x &{}= int_0^x frac 1 {z^2 + 1},dz, arccot x &{}= int_x^infty frac {1} {z^2 + 1},dz, arcsec x &{}= int_1^x frac 1 {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x geq 1 arcsec x &{}= pi + int_x^{-1} frac 1 {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x leq -1 arccsc x &{}= int_x^infty frac {1} {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x geq 1 arccsc x &{}= int_{-infty}^x frac {1} {z sqrt{z^2 - 1}},dz, qquad x leq -1 end{align}$

سری‌های نامتناهی

مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد:

$egin{align} arcsin z & {}= z + left( frac {1} {2} ight) frac {z^3} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^5} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^7} {7} + cdots & {}= sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; qquad | z | le 1 end{align}$

$egin{align} arccos z & {}= frac {pi} {2} - arcsin z & {}= frac {pi} {2} - (z + left( frac {1} {2} ight) frac {z^3} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^5} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^7} {7} + cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; qquad | z | le 1 end{align}$

$egin{align} arctan z & {}= z - frac {z^3} {3} +frac {z^5} {5} -frac {z^7} {7} +cdots & {}= sum_{n=0}^infty frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; qquad | z | le 1 qquad z eq i,-i end{align}$

$egin{align} arccot z & {}= frac {pi} {2} - arctan z & {}= frac {pi} {2} - ( z - frac {z^3} {3} +frac {z^5} {5} -frac {z^7} {7} +cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; qquad | z | le 1 qquad z eq i,-i end{align}$

$egin{align} arcsec z & {}= arccos {(1/z)} & {}= frac {pi} {2} - (z^{-1} + left( frac {1} {2} ight) frac {z^{-3}} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4} ight) frac {z^{-5}} {5} + left( frac{1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 } ight) frac{z^{-7}} {7} + cdots ) & {}= frac {pi} {2} - sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; qquad left| z ight| ge 1 end{align}$

$egin{align} arccsc z & {}= arcsin {(1/z)} & {}= z^{-1} + left( frac {1} {2} ight) frac {z^{-3}} {3} + left( frac {1 cdot 3} {2 cdot 4 } ight) frac {z^{-5}} {5} + left( frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6} ight) frac {z^{-7}} {7} +cdots & {}= sum_{n=0}^infty left( frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} ight) frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; qquad left| z ight| ge 1 end{align}$

همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:

$arctan z = frac{z}{1+z^2} sum_{n=0}^infty prod_{k=1}^n frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.$

هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:

$arctan z = sum_{n=0}^infty frac{2^{,2n},(n!)^2}{left(2n+1 ight)!} ; frac{z^{,2n+1}}{left(1+z^2 ight)^{n+1}}$

انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی

برای تمامی x‌های حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است:

$egin{align} int arcsin x,dx &{}= x,arcsin x + sqrt{1-x^2} + C int arccos x,dx &{}= x,arccos x - sqrt{1-x^2} + C int arctan x,dx &{}= x,arctan x - frac{1}{2}lnleft(1+x^2 ight) + C int arccot x,dx &{}= x,arccot x + frac{1}{2}lnleft(1+x^2 ight) + C int arcsec x,dx &{}= x,arcsec x - lnleft(xleft(1+sqrt{{x^2-1}over x^2} ight) ight) + C int arccsc x,dx &{}= x,arccsc x + lnleft(xleft(1+sqrt{{x^2-1}over x^2} ight) ight) + C end{align}$

تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:

$egin{align} int arcsec x,dx &{}= x,arcsec x - lnleft(x+sqrt{x^2-1} ight) + C int arccsc x,dx &{}= x,arccsc x + lnleft(x+sqrt{x^2-1} ight) + C end{align}$

تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جژء قابل دستیابی است.

نمونه

با استفاده از $int u,mathrm{d}v = u v - int v,mathrm{d}u$ داریم:

$egin{align} u &{}=&arcsin x &quadquadmathrm{d}v = mathrm{d}x mathrm{d}u &{}=&frac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^2}}&quadquad{}v = x end{align}$

آنگاه:

$int arcsin(x),mathrm{d}x = x arcsin x - int frac{x}{sqrt{1-x^2}},mathrm{d}x$

با استفاده از :

$k = 1 - x^2.,$

پس:

$mathrm{d}k = -2x,mathrm{d}x$

$int frac{x}{sqrt{1-x^2}},mathrm{d}x = -frac{1}{2}int frac{mathrm{d}k}{sqrt{k}} = -sqrt{k}$

دوباره x را جایگزین می‌کنیم:

$int arcsin(x), mathrm{d}x = x arcsin x + sqrt{1-x^2}+C$

تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:

نام	نماد ریاضی	تعریف	بازهٔ x برای خروجی های حقیقی	برد تابع (رادیان)	برد تابع (درجه)
آرک سینوس	y = arcsin x	x = sin y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کسینوس	y = arccos x	x = cos y	۱ ≥ x ≥ ۱−	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک تانژانت	y = arctan x	x = tan y	تمامی اعداد حقیقی	$-frac{pi}{2} le y le frac{pi}{2}$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-
آرک کتانژانت	y = arccot x	x = cot y	تمامی اعداد حقیقی	$0 le y le pi$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰
آرک سکانت	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$0 le y le pi, y e ; frac{pi}{2}$	۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°
آرک کسکانت	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$frac {-pi}{2} le y le frac {pi}{2}, y e ; 0$	°۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°

محتویات

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

نمودار تابع های $operatorname{arcsin}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccos}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arctan}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccot}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های $operatorname{arcsec}(x)$ (قرمز) و $operatorname{arccsc}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

زاویه‌های مکمل:

$arccos x = frac{pi}{2} - arcsin x$

$arccot x = frac{pi}{2} - arctan x$

$arccsc x = frac{pi}{2} - arcsec x$

ورودی‌های با علامت مخالف:

$arcsin (-x) = - arcsin x !$

$arccos (-x) = pi - arccos x !$

$arctan (-x) = - arctan x !$

$arccot (-x) = pi - arccot x !$

$arcsec (-x) = pi - arcsec x !$

$arccsc (-x) = - arccsc x !$

ورودی‌های وارون شده:

$arccos (1/x) ,= arcsec x ,$

$arcsin (1/x) ,= arccsc x ,$

$arctan (1/x) = frac{1}{2}pi - arctan x =arccot x, ext{ if }x > 0 ,$

$arctan (1/x) = - frac{1}{2}pi - arctan x = -pi + arccot x, ext{ if }x < 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{1}{2}pi - arccot x =arctan x, ext{ if }x > 0 ,$

$arccot (1/x) = frac{3}{2}pi - arccot x = pi + arctan x, ext{ if }x < 0 ,$

$arcsec (1/x) = arccos x ,$

$arccsc (1/x) = arcsin x ,$

در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:

$arccos x = arcsin sqrt{1-x^2}, ext{ if }0 leq x leq 1$

$arctan x = arcsin frac{x}{sqrt{x^2+1}}$

با استفاده از رابطهٔ خواهیم داشت:

$arcsin x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1-x^2}}$

$arccos x = 2 arctan frac{sqrt{1-x^2}}{1+x}, ext{ if }-1 < x leq +1$

$arctan x = 2 arctan frac{x}{1+sqrt{1+x^2}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

$sin (arccos x) = cos(arcsin x) = sqrt{1-x^2}$

$sin (arctan x) = frac{x}{sqrt{1+x^2}}$

$cos (arctan x) = frac{1}{sqrt{1+x^2}}$

$an (arcsin x) = frac{x}{sqrt{1-x^2}}$

$an (arccos x) = frac{sqrt{1-x^2}}{x}$

راه حل کلی

این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:

$sin(y) = x Leftrightarrow y = arcsin(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arcsin(x) + 2kpi$

$cos(y) = x Leftrightarrow y = arccos(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arccos(x) + 2kpi$

$an(y) = x Leftrightarrow y = arctan(x) + kpi$

$cot(y) = x Leftrightarrow y = arccot(x) + kpi$

$sec(y) = x Leftrightarrow y = arcsec(x) + 2kpi ext{ or } y = 2pi - arcsec (x) + 2kpi$

$csc(y) = x Leftrightarrow y = arccsc(x) + 2kpi ext{ or } y = pi - arccsc(x) + 2kpi$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

نوشتار اصلی: ,

:: 16:40 :: نويسنده : عطا صلحی

اعداد موهومی

عدد موهومی، یک عدد به شکل است به طوری که یک عدد غیر صفر و حقیقی، همچنین نیز به صورت (که به آن واحد موهومی نیز می‌گویند) تعریف شده باشد، است. یک عدد موهومی را می‌توان به یک عدد حقیقی مانند اضافه کرد که پس از آن یک عدد مختلط به شکل که در آن و به ترتیب، قسمت حقیقی و قسمت موهومی است تشکیل شود. همچنین می‌توان گفت که اعداد موهومی، اعداد مختلطی هستند که قسمت حقیقی آن‌ها صفر باشد. مربع یک عدد موهومی، یک عدد حقیقی منفی است.

سه شنبه 7 آبان 1392برچسب:,

:: 16:14 :: نويسنده : عطا صلحی

ضرب خارجی

در ریاضیات، ضرب خارجی عملگری دوتایی بر دو بردار در فضای سه بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن برداری است که بر دو بردار اولیه عمود است. در مقابل، ضرب داخلی یک اسکالر را نتیجه می‌دهد. در بسیاری از کاربردهای فیزیکی و مهندسی نیاز به یافتن برداری عمود بر دو بردار می‌باشد که می‌توان در این موارد از حاصلضرب خارجی استفاده کرد.

تعریف

‫قانون دست راست برای یافتن جهت بردار حاصلضرب خارجی دو بردار.

حاصلضرب خارجی دو بردار a و b با a × b نمایش داده می‌شود. در فضای اقلیدسی سه‌بعدی در دستگاه مختصات راست‌گرد، حاصلضرب خارجی دو بردار، برداری است مانند c که بر دو بردار a و b عمود است و جهت آن با استفاده از قانون دست راست تعیین می‌گردد و اندازه آن برابر است با مساحت متوازی‌الاضلاعی که این دو بردار دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهند. یعنی:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}$

که θ زاویه بین دو بردار a و a ، b و b اندازه این دو بردار، و $\mathbf{\hat{n}}$ بردار یکه در راستای عمود بر دو بردار a و b و در جهت تعیین شده توسط قانون دست راست است.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Cross product»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۹ فوریه ۲۰۰۸).

شنبه 4 آبان 1392برچسب:,

:: 22:13 :: نويسنده : عطا صلحی

اجتماع

اگر عضوهای دو مجموعه $A$ و $B$ را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با $A\cup B$ نمایش می‌دهیم.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر $A\in S$ داشته باشیم $A\subseteq C$ .

اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup_{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcup S := \bigcup_{A\in S}A := \{x\in C: \exists A\in S, x\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، $\bigcup \{A, B\}$ را با $A\cup B$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با $A\cup B\cup C$ ،... و اجتماع n مجموعه $A_1, A_2,\cdots,A_n$ را با $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = (A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{n-1})\cup A_n$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی $A\cup B$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع $A\cup B$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با $A\cap B$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

$A\cup A = A$

$A\cup B = B\cup A$

$A\cup \phi = \phi\cup A = A$

$(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)$

$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$

شنبه 4 آبان 1392برچسب:,

:: 21:54 :: نويسنده : عطا صلحی

اشتراک

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها مینامیم و آن را با نماد ∩ نشان میدهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و $X\in S$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با $\bigcap S$ یا $\bigcap_{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S := \bigcap_{A\in S}A := \{y\in X: \forall A\in S, y\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود $\bigcap\phi := U$ .

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با $A\cap B$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با $A\cap B\cap C$ ،... و اشتراک n مجموعه $A_1,A_2,\cdots,A_n$ را با $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که