خداحافظ ایگرگ

درباره وبلاگ

به وبلاگ من خوش آمدید

منوي اصلي

آخرین مطالب

<-PostTitle->

آرشيو وبلاگ

پیوندهای روزانه

پيوندها

جی پی اس موتور
جی پی اس مخفی خودرو

تبادل لینک هوشمند
برای تبادل لینک ابتدا ما را با عنوان وبلاگ من و دوستم و آدرس atasepehr.LXB.ir لینک نمایید سپس مشخصات لینک خود را در زیر نوشته . در صورت وجود لینک ما در سایت شما لینکتان به طور خودکار در سایت ما قرار میگیرد.

نويسندگان

عطا صلحی


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 16
بازدید دیروز : 0
بازدید هفته : 27
بازدید ماه : 25
بازدید کل : 44855
تعداد مطالب : 18
تعداد نظرات : 0
تعداد آنلاین : 1

Alternative content

خداحافظ ایگرگ

وبلاگ صلحی

مجموعه توانی

در ریاضیات، مجموعه توانی هر مجموعهٔ S، که بصورت $\mathcal{P}(S)$ ، P(S)، ℘(S)، 2^S نوشته می‌شود، مجموعه‌ای از همهٔ زیرمجموعه‌های S است که شامل مجموعهٔ تهی و خود مجموعهٔ S نیز می‌شود. در نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها (آنچنان که برای مثال در اصل موضوع ZFC توسعه پیدا کرده) وجود مجموعهٔ توانی هر مجموعه توسط اصل موضوع مجموعه توانی بدیهی شمرده شده است.

هر زیرمجموعه‌ای از $\mathcal{P}(S)$ خانواده‌ای از مجموعه‌ها بر s نامیده می‌شود.

مثال

اگر S مجموعهٔ {x، y، z} باشد، آنگاه زیرمجموعه‌های S این‌ها هستند:

{} (مجموعه تهی)
{x}
{y}
{z}
{x، y}
{x، z}
{y، z}
{x، y، z}

و بنابراین مجموعهٔ توانی $S = \left\{x, y, z\right\}$ اینچنین است:

$\mathcal{P}(S) = \left\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\right\}\,\!.$

شنبه 4 آبان 1392برچسب:,

:: 17:40 :: نويسنده : عطا صلحی

انتگرال

اَنتِگرال (integral) مقدار مشترک ممکن زیرینۀ مجموعه‌ای ریمانی و زبرینۀ مجموعه‌ای ریمانی یک تابع حقیقی در بازۀ مفروض است.^[۱] انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و $f(x)$ تابعی انتگرال‌پذیر است و $dx$ نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.

از لحاظ تاریخی $dx$ یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.

انتگرال نامعین

تعریف:

هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد $\int$ نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود, زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقا برعکس عملیات مشتق‌گیری است.

بنا به تعریف نماد $\int{f(x)}.dx$ را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانند $F(x)+c$ در نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:

$\int{f(x)}.dx=F(x)+c$

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:

$F'(x) = f(x) \Leftrightarrow \; \int{f(x)}.dx = F(x)+c$

مثال: مقدار انتگرال تابع $f(x)=\sqrt{x} + 2x^2 - 8$ را حساب کنید:

$\int{f(x)}.dx=\int{( x^{ \frac{1}{2}}+2x^2-8)}.dx = \int{ x^{\frac{1}{2}}}.dx + 2 \int{x^2}.dx - 8 \int{dx} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C$

$\Rightarrow \int{f(x)}.dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C$

انتگرال معین

بنا به تعریف، نماد $\int_a^b f(x).dx$ را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای $a<x<b$ عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

$a$ و $b$ به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی $f_x$ است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

نمایش گرافیکی انتگرال.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

محاسبه انتگرال

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :

انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء : $\int u\, dv=uv - \int v\, du$
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال گیری عددی، تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

کاربرد

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عممودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلا رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

$v=[L]/[T] t=[T] \!$

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:

$[L] \!$

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

جمعه 3 آبان 1392برچسب:,

:: 16:33 :: نويسنده : عطا صلحی

جایگشت

جایگشت در قلمرو ترکیبیاتی آن به معنی مرتب‌سازی یا تغییر ترتیب اعضای یک مجموعه می‌باشد. ممکن است این چیدمان خطی و یا غیر خطی (مثلاً دور یک دایره که در این حالت جایگشت دوری نامیده می‌شود) صورت گیرد.اعضای مجموعه نیز می‌توانند هر چیزی باشند مثلاً شی یا عدد یا حرف و همچنین می‌توانند تکراری باشند یا متمایز.در هر مورد، مهم، تعداد طرق چیدن این اعضا است.

تعریف

جایگشت (خطی):هر ترتیب (خطی) قرار گرفتن n شی در کنار هم را یک جایگشت می‌نامند. در مسایل ترکیبیاتی اکثراً تعداد جایگشت‌ها مد نظر است.

محاسبه

فرض کنید می‌خواهیم n دانش آموز (به عنوان اشیا متمایز) را در یک صف قرار دهیم:

در جایگاه اول ممکن است هر یک از n دانش آموز بایستند پس برای مکان اول (ابتدای صف) n حالت مختلف وجود دارد.در جایگاه دوم n-۱ دانش آموز باقی‌مانده (به جز دانش آموزی که در جایگاه اول صف ایستاده) می‌توانند قرار بگیرند پس تا اینجا به (n*(n-۱ حالت مختلف توانستیم دو مکان اول را با دو دانش‌آموز پر کنیم.به همین ترتیب برای جایگاه سوم:

$n\times(n-1)\times(n-2)$

حالت و برای i امین جایگاه به تعداد:

$n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times(n-i+1)$

حالت داریم. با همین روند تمام n جایگاه را به :

$n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times2\times1$

طریق می‌توان با n دانش آموز پر کرد.که همان تعداد روش‌های ایستادن n دانش آموز در یک صف می‌باشد.حاصل ضرب فوق را «جایگشت n شی متمایز» می‌نامند و آن را با نماد $n!$ (خوانده می‌شود n فاکتوریل) نشان می‌دهند.

جایگشت r تایی(تبدیل)

گاه جایگشت تنها r عضو از کل n عضو مجموعه مد نظر است.در این حالت می‌توان آن را تبدیل r از n نیز نامید.

تعریف

اگر مجموعه‌ای از n شی در اختیار داشته باشیم، هر آرایش خطی متشکل از r تا از این اشیا، را یک جایگشت r شی از این n شی می‌نامیم.

نماد

جایگشت r شی از n شی را با نمادهای $\mathbf{P}(n,r) = \mathbf{P}_r^n = {(n)}_r$ نمایش می‌دهند.

محاسبه

درست مانند طریقه محاسبه جایگشت‌های n تایی(مربوط به کل مجموعه n تایی)که در بالا انجام گرفت عمل می‌کنیم، با این تفاوت که در اینجا تنها r جایگاه برای قرار گرفتن اشیا موجود است. پس تنها تا مرحله r ام پیش می‌رویم یعنی فقط r شی از n شی را در r مکان داده شده قرار می‌دهیم که با توجه به اثبات فوق، مقدار این جایگشت برار خواهد بود با:

$P_r^n = n\times(n-1)\times\dots\times(n-r+1) = n\times(n-1)\times\dots\times(n-r+1)\times{\frac{(n-r)\times(n-r-1)\times\dots\times2\times1}{(n-r)\times(n-r-1)\times\dots\times2\times1}} = \frac{n!}{(n-r)!}$

${P_r^n} = \frac{n!}{(n-r)!}$

همان طور که مشاهده می‌شود داریم:

${P_n^n} = \frac{n!}{0!} = n!$

که همان جایگشت n تایی می‌باشد که با جواب حاصل از انتخاب تمامی n عضو مجوعه n تایی و چیدن آنها در یک ردیف یعنی تبدیل n از n یکی است، که طبق تعاریف ذکر شده این امر واضح است.

جمعه 3 آبان 1392برچسب:,

:: 11:16 :: نويسنده : عطا صلحی

توان

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه، n بار در خود ضرب می‌شود:

$b^n = underbrace{b imes cdots imes b}_n$

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

$b imes n = underbrace{b + cdots + b}_n$

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت ، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

توان با نماهای صحیح

عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.

نماهای صحیح مثبت

ساده‌ترین نوع توان، با نماهای مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. در اینجا 3 پایه و 5 نما است، و 243 باب است با 3 به توان 5. عدد 3، 5 بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر 5 است.

به طور قراردادی، a² = a×a را مربع، a³ = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 3² «مربع سه» و 3³ «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a⁰ = 1 و سایر توان‌ها را به صورت aⁿ⁺¹ = a·aⁿ بنویسیم.

نماهای صفر و یک

3⁵ را می‌توان به صورت 1 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در عمل ضرب عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

هر عدد به توان یک برابر خودش است.

a¹ = a

هر عدد به توان صفر برابر یک است.

a⁰ = 1

(برخی نویسندگان 0⁰ را تعریف نشده می‌خوانند.) برای مثال: a^{0^{= a^{2-2^{= a^{2^{/a^{2 ^{= 1 (در صورتی که a ≠ 0)}}}}}}}}

^{نماهای صحیح منفی}

^{اگر عددی غیرمنفی را به توان -1 برسانیم، حاصل برابر}

^{a⁻¹ = 1/a}

در نتیجه:

a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ = 1/aⁿ

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3⁻⁵ = 1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 1/243 = 1/3⁵.

خواص

مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

$a^{m + n} = a^m cdot a^n$

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

$a^{m - n} = egin{matrix}frac{a^m}{a^n}end{matrix}$

$(a^m)^n = a^{mn} !,$

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال 2+3 = 5 = 3+2 و 2×3 = 6 = 3×2) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 2³ = 8 است در حالی که 3² = 9. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت 3 به توان چهار برابر است با 8⁴ یا 4096، در حالی که 2 به توان 3⁴ برابر است با 2⁸¹ یا 2,417,851,639,229,258,349,412,352.

توان‌های ده

در سیستم ، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10⁶ برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن 6 صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ برای مثال 299792458 (سرعت نور با یکای مترمکعب بر ثانیه) را می‌توان به صورت 2.99792458 × 10⁸ نوشت و به صورت تخمینی به شکل 2.998 × 10⁸. هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان 10 استوار است. برای مثال پیشوند کیلو یعنی 10³ = 1000، پس یک کیلومتر برابر 1000 متر است.

توان‌های عدد دو

نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند چون در کامپیوتر مقادیر $2^n$ را می‌توان برای یک متغیر nبیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر (0)

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است: $0=0^2$ .

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت $0^{-n}$ تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان صفر عدد یک باشد، حاصل عبارت برابر یک است: $1=1^0$ .

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که $0^0$ تعریف نشده‌است.)

توان‌های منفی یک

توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: ${(-1)}^{2n+1}=-1$

اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: ${(-1)}^{2n}=1$

توان‌های

توان‌های $i$ در دنباله‌های با دوره‌ی ۴ کاربرد دارند.

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{4n}=1$

توان‌های e

عدد e با توان صحیح است:

$e=lim_{n ightarrow +infty} left(1+frac{1}{n} ight) ^n =lim_{n ightarrow -infty} left(1+frac{1}{n} ight) ^n$ .

و تقریباً داریم:

$eapprox 2.71828$ .

یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:

$e^x = left( lim_{m ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m} ight) ^m ight) ^x = lim_{m ightarrow pminfty} left(left(1+frac{1}{m} ight) ^m ight) ^x = lim_{m ightarrow pminfty} left(1+frac{1}{m} ight) ^{mx} = lim_{mx ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{mx} ight) ^{mx} = lim_{n ightarrow pminfty} left(1+frac{x}{n} ight) ^n$

x می‌تواند عددی مانند صفر، عدد مرکب، یا یک باشد.

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

عددی nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

توان‌های کسری

از بالا به پائین: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر $a$ عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

$x^n = a$

و ریشه nام $a$ نامیده می‌شود:

$x=a^{frac{1}{n}}$

برای مثال: 8^1/3 = 2. حالا می‌توانیم توان $m/n$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$a^{frac{m}{n}} = left(a^{frac{1}{n}} ight)^m$

برای مثال: 8^2/3 = 4.

توان‌های مرکب اعداد مرکب

خلاصه

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:

z⁰ = 1 zⁿ⁺¹ = z·zⁿ z⁻ⁿ = 1/zⁿ (برای z ≠ 0)

توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:

$e^z=lim_{n arrinfty}left(1+frac{z}{n} ight)^n$

و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:

a^z = e^bz

اگر:

a = e^b

مثلثات

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:

$e^{ix}=cos(x) + i sin(x)$ $e^{-ix}=cos(x) - i sin(x)$

مانند:

$cos(x) = (e^{ix} + e^{-ix}) / {2}$ $sin(x) = (e^{ix} - e^{-ix}) / {2i}$

معادله لگاریتم

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله e^z = 1 را به صورت z = 2πi·n حل نمود.

حالت قطبی

هر عدد مرکب به شکل $a+ib$ را می‌توان به این صورت نوشت:

$a+ib = r e^{ivarphi} = r left[ cosvarphi + i sinvarphi ight]$

برای یک مقدار حقیقی مثبت $r$ و یک کمان $varphi$ می‌توانیم از فرمول اویلر برای $e^{ivarphi}$ استفاده کنیم:

$(a+ib)^x = left( r e^{ivarphi} ight)^x = r^x e^{i varphi x}.$

حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: $e^{id} = cos d + isin d$ . در نتیجه داریم:

$r^{id} = left[ (r)^d ight]^i = left [ left( e^{ln r} ight)^d ight]^i = e^{i d ln r} = cos(d ln r) + isin(d ln r).$

حال اگر از $r = e^{ln r} !$ استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

$(a+ib)^{c+id} = left( r e^{ivarphi} ight)^{c+id} = left[ r^c e^{-varphi d} ight] e^{i(varphi c + d ln r)}$

مثال

$i^i = (e^{ipi/2})^i = e^{-pi/2} approx 0.20788ldots$

این مقدار اصلی $i^i$ اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت $i = e^{ipi/2 + 2pi icdot n}$ بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:

$i^i = (e^{ipi/2 + 2pi icdot n})^i = e^{-pi/2 - 2picdot n}$

جدول توان

جدول kⁿ، k در سمت چپ و n در بالای جدول است.

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k^	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1,024	2
	3	3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049	3
	4	4	16	64	256	1,024	4,096	16,384	65,536	262,144	1,048,576	4
	5	5	25	125	625	3,125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625	5
	6	6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176	6
	7	7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249	7
	8	8	64	512	4,096	32,768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824	8
	9	9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401	9
	10	10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000	10
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		n